\section{维数 \textbullet 基与坐标}

\begin{frame}{本节概要}
  \begin{enumerate}
    \item $n$维（行或列）向量构成的向量组的线性关系的相关观念 (线性组合、线性表出、等价、线性关系、线性相关、线性无关、极大线性无关组、秩) 都可推广到抽象的向量空间。
      而且，我们有同样的性质 (参见定理~\ref{141})。
    \item  在一个线性空间中，究竟最多能有几个线性无关的向量，是线性空间的一个重要属性。
      若一个线性空间$V$有且至多有$n$个线性无关的向量 (其中$n$是非负整数)，我们说
      $V$是$n$维的，也说$V$是有限维的。若$V$中有任意多的线性无关的向量，就说$V$是无限维的。
    \item 我们会引入基的概念，就如同几何中引入坐标系，
      这样我们就可以用坐标来计算了。
      在 $n$ 维线性空间 $V$ 中， $n$ 个线性无关的向量称为$V$的一组基。
    \item 与基、维数紧密相连的概念除了线性无关性，还有生成性。
线性无关的向量组也称为无关集；一向量组若能线性表出$V$中任一向量
则称为生成集。
一个向量组是基实际上也相当于其既是无关集也是生成集。
\item 对于无关集，可扩充之得到一组基。对于生成集，取其一个极大线性无关组可得一组基。
无关集的基数 (即包含的向量的个数) 不超过空间的维数，
  相等当且仅当该无关集是基；
  生成集的基数不小于空间的维数，
相等当且仅当该生成集是基。
  \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{向量组上的线性关系}
我们来把上学期学过的$n$维（行或列）向量构成的向量组的线性关系的观念推广到抽象的线性空间。
我们所谓的向量组指的是一组向量（有限个），或者说，有限个向量的有序集。
我们以前说过，我们把序加进来是因为我们允许这组向量中有重复的向量，但实际上我们的讨论跟向量组中元素的顺序没有本质的关系（对元素重新排序通常结论不变）。
另外，我们允许向量组是空集。
我们会遇到空集，比如我们会遇到零向量空间（比如齐次线性方程组的解空间就可能是），它的基是空集。
不过我们不关心空集这种平凡的情形，所以通常不谈，我们的向量组默认不是空集；空集的好处是可以帮助我们统一说法。

\pause
\begin{definition}
  设 $V$ 是数域 $P$ 上的一个线性空间， $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}\in V$ (其中$r \geqslant 1$)，
  $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}\in P$, 
  那么向量$\alpha=\sum_{i=1}^r k_i\alpha_i$
  称为向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ 的一个\emph{线性组合} (linear combination)。
此时我们也说向量 $ \alpha$ 可以经向量组 $ \alpha_{1}$, $ \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ \emph{线性表出}。
\end{definition}

\pause
\begin{definition}
设
$
S=( \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}),
T=( \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_{s})
$
是 $V$ 中两个向量组。
如果 $S$ 中每个向量都可以经向量组 $T$ 线性表出，那么称向量组 $S$ 可以经向量组 $T$ \emph{线性表出}。
如果 $S$ 与 $T$ 可以互相线性表出，那么向量组 $S$ 与 $T$ 称为\emph{等价}的 (equivalent)，记作$S\sim T$.
\end{definition}

\pause
和之前一样，线性表出有自反性、传递性；向量组的等价有自反性、对称性、传递性，
是向量组之间的等价关系。

\end{frame}


\begin{frame}{}

\begin{definition}
  $V$中向量组$\alpha_1, \cdots, \alpha_r$上的一个\emph{线性关系} (linear relation) 指这些向量线性组合得到零向量的表达式，
  即形如$\sum_{i=1}^r k_i \alpha_i=0$ (其中$k_i\in P$) 的等式。 
所有的$k_i=0$给出的关系称为\emph{平凡}的 (trivial) 线性关系；
否则称为\emph{非平凡}的 (nontrivial) 线性关系。
\end{definition}

\pause
  \begin{definition}
    线性空间 $V$ 中向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ ($r \geqslant 1)$ 称为\emph{线性无关} (linearly independent)，若该向量组只有平凡的线性关系，
    或者说，$\sum_{i=1}^r k_i \alpha_i=0$ ($k_i\in P$) 蕴含了所有$k_i=0$.
反之，线性空间 $V$ 中向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ ($r \geqslant 1$) 称为\emph{线性相关} (linearly dependent)，
如果该向量组有非平凡的关系，
或者说，如果存在不全为零的 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}\in P$ 使$\sum_{i=1}^r k_i \alpha_i=0$.
为了方便，我们约定空集线性无关。
\end{definition}

\pause
\begin{definition}
令$S=(\alpha_1, \cdots, \alpha_s)$ 为线性空间$V$中一向量组。
$S$的子集$T=(\alpha_{j_1}, \alpha_{j_2}, \cdots, \alpha_{j_r})$ 
（其中$1\leqslant j_1 <j_2< \cdots< j_r\leqslant s$）
称为$S$的\emph{极大线性无关组}（或简单地，\emph{极大无关组}），
若$T$线性无关且$S$可以由$T$线性表出。
\end{definition}

\end{frame}


\begin{frame}

不仅如此，从这些定义出发对 $n$ 维向量所作的那些论证也完全可以搬到抽象的线性空间中来并得出相同的结论。 
我们不再重复这些论证， 只是把几个常用的结论叙述如下：
\begin{theorem}\label{141}
  \begin{enumerate}
    \item 单个向量 $ \alpha$ 是线性相关的充分必要条件是 $ \alpha=\symbf{0}$. 
      $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_r$ (其中$r\geqslant 2$) 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合。
      \pause
      \item 如果向量组 $S=( \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r})$ 线性无关，
        那么添加向量$\beta$到$S$得到的向量组 $(S,\beta)=( \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r},  \beta)$ 线性相关
        当且仅当 $ \beta$
        可以经 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ 线性表出
(而且可表出时表法是唯一的)。
        换言之，$(S,\beta)=( \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r},  \beta)$ 线性无关
        当且仅当 $ \beta$
        不能由 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ 线性表出。

        \pause
  \item 向量组的线性无关子集都可延拓为一个极大线性无关组。
        特别地，任意的向量组都有极大线性无关组
        （我们约定只有零向量的向量组的极大线性无关组是空集）。
\pause
    \item 如果向量组 $( \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_r)$ 线性无关， 
      而且可以经向量组 $( \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_s)$ 线性表出， 那么 $r \leqslant s$.
        作为推论，两个等价的线性无关的向量组，必定含有相同个数的向量。
        \pause
      \item 向量组$S$的极大线性无关组（通常不唯一但）线性等价，从而$S$的不同的极大线性无关组包含相同多向量，这个个数也称为向量组 $S$的\emph{秩} (rank)，记作$\rank S$.
        \pause
      \item 比 (4) 更一般地，若向量组$S$可由向量组$T$线性表出，则$\rank S\leqslant \rank T$.  
    \end{enumerate}
\end{theorem}

\end{frame}


\begin{frame}{维数、基与坐标}
 线性空间$P^n$中有 $n$ 个线性无关的向量，而任意 $n+1$个向量都是线性相关的。
 在一个线性空间中，究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性。我们引入
  \begin{definition}
    如果在线性空间 $V$ 中有 $n$ 个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么 $V$ 就称为
    \emph{ $n$ 维的} ($n$-dimensional)。
$n$ 称为$V$的维数 (dimension)，也记作$\dim V$或$\dim_P V$.
如果在 $V$ 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么 $V$ 就称为\emph{无限维的} (infinite-dimensional)，记为$\dim V=\infty$.
     \end{definition}
     \pause
    \begin{example}
      我们有$\dim P^n=n$.
       而$\dim P[x]=\infty$; 
       因为按照约定，在$P[x]$中$1, x, x^2, \cdots$线性无关（即其中任意有限个线性无关）。
   \end{example}

   \pause
  无限维空间是一个专门研究的对象，它与有限维空间有比较大的差别。 
  但是上面提到的线性表出、线性相关、线性无关等性质， 只要不涉及维数和基， 就对无限维空间成立。
  在本课程中，我们主要讨论有限维空间。
\end{frame}

\begin{frame}
在解析几何中我们看到， 为了研究向量的性质，引入坐标是一个重要的步骤。 
对于有限维线性空间，坐标同样是有力的工具。
在解析几何中谈坐标之前我们需要建立坐标系；在抽象的线性空间中，相应地，
要谈向量的坐标，我们需要先引入基的概念。

\pause
\begin{definition}
  在 $n$ 维线性空间 $V$ 中， 包含 $n$ 个向量的线性无关的向量组 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 称为 $V$ 的一个（有序）\emph{基} (basis)。 
\end{definition}

基作为线性无关的向量组没有重复的向量。
而且，显然重排有序基中元素得到的向量组还是一组基。
因此，若一向量组真是基，我们不用关心其中元素的顺序。
线性无关的$n=\dim V$个向量也称为 (无序) 基；
不过应用中我们通常要取定顺序，即实际中我们通常用的都是有序基。
%忘记有序基上元素的序时我们得到了无序基的概念。

~

\pause
与基的概念紧密相关的除了线性无关性，还有生成性。
\begin{definition}
  令$V$是有限维向量空间。若$V$中向量组$\symbb{B} $线性无关，则称$\symbb{B} $为\emph{无关集} (independent set)；
若$\symbb{B} $可表出$V$，或者说，$V$中向量都可经$\symbb{B} $线性表出，则称$\symbb{B} $为\emph{生成集} (spanning set) 或\emph{生成集} (generating set)，
也说$\symbb{B} $ \emph{张成} (span) 或 \emph{生成} (generate) $V$.
\end{definition}
%由以上定义看来， 在给出空间 $V$ 的一组基之前， 必须先确定空间 $V$ 的维数。 实际上，这两个问题常常是同时解决的。
%如果在线性空间 $V$ 中有 $n$ 个线性无关的向量 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$, 且 $V$ 中任一向量都可以经它们线性表出，那么 $V$ 是 $n$ 维的， 而 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{n}$ 就是 $V$ 的一组基。

下述定理联系了无关集、生成集、基、维数，提供了判断向量组何时是基的一些准则。

\end{frame}


\begin{frame}{}
  \begin{theorem}\label{144}
    设$V$是有限维向量空间，$\symbb{B} =(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)$为$V$中向量组。
    \begin{enumerate}
      \item 若$\symbb{B} $无关且生成$V$, 则$\symbb{B} $是$V$的一组基，且$\dim V=n$.
      \item 若$\dim V=n$, 且$\symbb{B} $无关，则$\symbb{B} $为$V$的一组基（这是定义），且$\symbb{B} $生成$V$.
      \item 若$\dim V=n$, 且$\symbb{B} $生成$V$, 则$\symbb{B} $无关，从而为$V$的一组基。
    \end{enumerate}
  \end{theorem}

  \pause
  上述定理中(1)表明：当我们不知道线性空间$V$的维数时，要证明$\symbb{B}$为基，我们可以验证$\symbb{B}$无关且生成$V$;
而当我们能确认$\symbb{B}$中包含的向量的个数等于线性空间的维数时，
要验证$\symbb{B}$为基，定理中(2)(3)表明只用证明$\symbb{B}$为无关集或证明$\symbb{B}$为生成集。

\pause
\begin{proof*}[定理~\ref{144}~的证明]
\begin{enumerate}
  \item $\symbb{B} $ 无关表明$\dim V\geqslant \sharp \symbb{B} =n$. 
    为了证明 $V$ 是 $n$维的， 只需证 $V$ 中任意 $n+1$ 个向量必定线性相关。
    设
 \(
   S=( \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_{n+1})
 \)
 是 $V$ 中包含 $n+1$ 个向量的向量组，
 $S$可由 $\symbb{B} =( \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{n})$ 线性表出。 
 这样$\rank S\leqslant \rank \symbb{B} =n$, 从而$S$线性相关。

 \item 按定义在所给假设下$\symbb{B} $是基。
   对任意的$\alpha\in V$, 添加$\alpha$到$\symbb{B} $得到的向量组
   $(\symbb{B} , \alpha)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n,\alpha)$线性相关，
   从而$\alpha$可由$\symbb{B} $线性表出。
   这就证明了$\symbb{B} $生成$V$.
 \item 设$\symbb{B} '$为$V$的一组基。
   由于$\symbb{B} $生成$V$, $\symbb{B} '$可由$\symbb{B} $线性表出。
   特别地，$n=\rank \symbb{B} '\leqslant \rank \symbb{B} $. 
   而$\symbb{B} $中只有$n$个向量，只有$\symbb{B} $无关。
   从而$\symbb{B} $为$V$的基。
 \end{enumerate}
\end{proof*}


\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{theorem}\label{163}
    令$V$为线性空间。
    \begin{enumerate}
      \item 若$S$为生成集，则$S$的极大线性无关组为$V$的基。
      \item   若$L$为无关集，则$L$可扩充为$V$的一组基。
    \end{enumerate}
  \end{theorem}

  \begin{proof}
    \begin{enumerate}
      \item 令$T$为$S$的一个极大线性无关组。由于$S$能线性表出$V$
        且$T$可线性表出$S$, 由线性表出的传递性知$T$能线性表出$V$, 即$T$为生成集。
        又$T$线性无关，因此$T$为基。
      \item 令$\symbb{B}$为$V$的一组基。考虑向量组$(L, \symbb{B})$. 
        显然$(L, \symbb{B})$为生成集。把$L$扩充为$(L, \symbb{B})$的一个极大线性无关组$T=(L, L')$.
        由(1)知$T$为$V$的基。这就证明了$L$可扩充为$V$的基。
    \end{enumerate}
  \end{proof}

  \pause
%  关于上述定理，我们再补充几句。
%  我们知道无关集可以延拓为极大无关组，从而$V$的无关子集可以延拓为一组基。
%  另一方面，对于$V$的生成集$S$，那么由上述定理可知$S$的极大无关组就是$V$的一组基
%  （这样可以通过去掉$S$的部分元素得到一组基）。
  特别地，


\begin{corollary}
对$V$中的无关集$L$, 生成集$S$, 基$\symbb{B} $, 
我们总有如下的数量关系：
\[
  \sharp L \leqslant \sharp \symbb{B} =\dim V \leqslant \sharp S,
\]
且左边的$\leqslant$取等号当且仅当$L$是基，
右边的$\leqslant$取等号当且仅当$S$是基。
\end{corollary}
\end{frame}

\begin{frame}

另外，我们也容易发现如下的判断线性空间有限维的方法：
\begin{corollary}
线性空间$V$有限维相当于$V$可被有限个向量生成。
\end{corollary}

\begin{remark}
  显然基无关且生成$V$, 故由定理~\ref{144}~知
  $V$的基就是无关且生成$V$的向量组。
而生成$V$的无关子集显然就是极大线性无关组的概念
(我们需要把之前的线性关系的相关概念延拓到无限集，参见附录~\ref{00E})，
所以有限维向量空间$V$的基就是$V$的极大无关组，而维数就是秩 (极大无关组中向量个数)。
\end{remark}

~

\pause
  设$\symbb{B} =(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n})$是有限维向量空间$V$的一组基。
设 $ \alpha$ 是 $V$ 中任一向量。
$\symbb{B} $是生成集表明 $ \alpha$ 可以经  $\symbb{B} $ 线性表出， 
  即存在关系式
\[
 \alpha=a_{1} \varepsilon_{1}+a_{2} \varepsilon_{2}+\cdots+a_{n} \varepsilon_{n},
\]
其中系数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是被向量 $ \alpha$ 和基 $\symbb{B} $ 唯一确定的，
这组数就称为 $ \alpha$ 在基 $\symbb{B} $ 下的\emph{坐标} (coordinate vector)，
记为 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$或$(a_1, a_2, \cdots, a_n)^{\rT}$.
行向量的好处是写起来方便，不过后面我们谈基变换时，我们的计算中的坐标向量都是列向量。


\end{frame}

\begin{frame}
\begin{example}
在线性空间 $P[x]_{n}$ 中，
$
1, x, x^{2}, \cdots, x^{n-1}
$
是 $n$ 个线性无关的向量，
而且每一个次数小于 $n$ 的数域 $P$ 上的多项式都可以经它们线性表出，
所以 $\dim P[x]_{n}=n$, 而 
\[
  1, x, \cdots, x^{n-1}
\]
就是它的一组基。
在这组基下，多项式 
\[
  f(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n-1} x^{n-1}
\]
的坐标就是它的系数 $\left(a_{0}, a_{1}, \cdots\right.$, $\left.a_{n-1}\right)$.
如果在 $V$ 中取另外一组基
\[
 \varepsilon_{1}^{\prime}=1, \quad  \varepsilon_{2}^{\prime}=x-a, \quad \cdots, \quad  \varepsilon_{n}^{\prime}=(x-a)^{n-1} .
\]
那么按泰勒展开公式
\[
f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1) !}(x-a)^{n-1} .
\]
因此， $f(x)$ 在基 $ \varepsilon_{1}^{\prime},  \varepsilon_{2}^{\prime}, \cdots,  \varepsilon_{n}^{\prime}$ 下的坐标是
\[
\left(f(a), f^{\prime}(a), \cdots, \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1) !}\right) .
\]
\end{example}
\end{frame}


\begin{frame}{}

\begin{example}

        在 $n$ 维空间 $P^{n}$ 中，考虑$\symbb{B} =(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n)$和
    $\symbb{B} '=(\varepsilon_1', \cdots, \varepsilon_n')$, 
    其中
  \[
    \begin{cases}
           \varepsilon_{1} =(1,0, \cdots, 0), \\
           \varepsilon_{2} =(0,1, \cdots, 0), \\
        \qquad \vdots \\
         \varepsilon_{n} =(0,0, \cdots, 1),
    \end{cases} \qquad 
    \begin{cases}
       \varepsilon_{1}^{\prime} =(1,1, \cdots, 1), \\
         \varepsilon_{2}^{\prime} =(0,1, \cdots, 1), \\
      \qquad \vdots \\
       \varepsilon_{n}^{\prime} =(0,0, \cdots, 1).
    \end{cases}
\]
容易发现$\symbb{B} $是$P^n$的一组基（这组基称为$P^n$的\emph{自然基}） (natural basis)。
 对每个向量 $ \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)\in P^n$ 都有
\[
 \alpha=a_{1}  \varepsilon_{1}+a_{2}  \varepsilon_{2}+\cdots+a_{n} \varepsilon_{n} .
\]
所以 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$ 就是向量 $ \alpha$ 在基$\symbb{B} $下的坐标。
也容易发现$\symbb{B} '$线性无关，从而也是$P^n$的一组基。
在基 $\symbb{B} '$ 下， 对于向量 $\alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$, 有
\[
 \alpha=a_{1} \varepsilon_{1}^{\prime}+\left(a_{2}-a_{1}\right)  \varepsilon_{2}^{\prime}+\cdots+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)  \varepsilon_{n}^{\prime} .
\]
因此， $ \alpha$ 在基 $\symbb{B} '$ 下的坐标为
$
\left(a_{1}, a_{2}-a_{1}, \cdots, a_{n}-a_{n-1}\right) .
$
\end{example}

\pause
\begin{example}
维数依赖于基域。
如果把复数域看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数 $1$ 就是一组基;
如果看作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，$(1, i)$ 就是一组基。 
\end{example}



\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
    $P$-线性空间$P^{m\times n}$中，令$e_{ij}$为$(i,j)$元素为$1$而其余元素为$0$的$m\times n$矩阵。
      那么$e_{ij}$ ($1\leqslant i\leqslant m, 1\leqslant j\leqslant n$)
      这些向量线性无关，且生成$P^{m\times n}$, 从而是$P^{m\times n}$的一组基. 进而我们有$\dim P^{m\times n}=mn$.
      对$A=(a_{ij})\in P^{m\times n}$, $A=\sum_{i,j} a_{ij }e_{ij}$表明
      $A$在基
      \[
        (e_{11},\cdots,e_{1n},e_{21},\cdots,e_{2n},\cdots,e_{m1},\cdots,e_{mn})
      \]
      下的坐标为
      \[
        (a_{11},\cdots,a_{1n},a_{21},\cdots,a_{2n},\cdots,a_{m1},\cdots,a_{mn})^{\rT}.
      \]
 \end{example}

 \pause
 \begin{example}
   设$S$为有限集，$\sharp S=n$. 考虑$S$到$P$的所有映射构成的 $P$-向量空间$\Map(S, P)$.
   对$x\in S$, 令$x^*\in \Map(S, P)$定义为
   \[
     x^*(y)=\begin{cases}
       1 & \text{若$y=x$}; \\
       0 & \text{若$y\neq x$}.
     \end{cases}
   \]
   %为说明$x^*$ ($x\in S$) 这$n$个函数线性无关，
   设$\sum_{x\in S}c_x x^*=0$.
   这样对任意的$y\in S$, 
   \(
     0=\sum_{x\in S}c_x x^*(y)=c_y,
   \)
   由此可知$x^*$ ($x\in S$) 这$n$个函数线性无关。
   而且，这些函数生成$\Map(S, P)$, 因为任意的$f\in \Map(S, P)$可写为
   \[
     f=\sum_{x\in S} f(x)x^*.
   \]
   因此$x^*$ ($x\in S$) 这$n$个函数构成$\Map(S, P)$的一组基。特别地，$\dim \Map(S, P)=n$.
 \end{example}


\end{frame}


\iffalse
\begin{frame}{斐波那契数列及基的概念的应用}

实数序列 $\left(h_{n}\right)=\left(h_{0}, h_{1}, h_{2}, \cdots\right)$ 满足 $h_{0}=h_{1}=1$, 且
\[\tag{4}
h_{n}=h_{n-2}+h_{n-1}, \quad n \geqslant 2,
\]
这个序列称为\emph{斐波那契数列} (Fibonacci series)，它是由 $h_{0}, h_{1}$ 及递推关系 (4) 所决定的。 
易见所有 $h_{n}$ 都是正整数。能否找到一个统一的表达式（即通项公式）来计算所有的 $h_{n}$ 呢?

下面我们用线性空间和基为工具来解决它， 以后我们在第七章 \S5 末尾利用矩阵的对角化的工具给出这问题的另一种解法。

我们将所有满足递推关系 (4) 的序列的集合记作 $V(\symbf{R})$. 两个序列 $\left(h_{n}\right),\left(h_{n}^{\prime}\right)$ $\in V(\symbf{R}), k \in \symbf{R}$, 令 $l_{n}=h_{n}+h_{n}^{\prime}, k_{n}=k h_{n}(n=0,1,2, \cdots) .\left(l_{n}\right),\left(k_{n}\right)$ 仍满足关系 (4) , 即 $\left(l_{n}\right),\left(k_{n}\right) \in V(\symbf{R})$, 记 $\left(l_{n}\right)=\left(h_{n}\right)+\left(h_{n}^{\prime}\right)$, 称为 $\left(h_{n}\right)$ 与 $\left(h_{n}^{\prime}\right)$ 的和。 又记 $\left(k_{n}\right)=k\left(h_{n}\right)$, 称
为 $\left(h_{n}\right)$ 的 $k$ 倍。 这就在 $V(\symbf{R})$ 中定义了加法和数量乘法。 和有限维向量空间 $P^{n}$ 一样， $V(\symbf{R})$ 构成实数域 $\symbf{R}$ 上线性空间。 虽然它的元素是无限序列，但下面可证它是 $\symbf{R}$ 上二维空间。 首先对 $\left(h_{n}\right),\left(h_{n}^{\prime}\right) \in V(\symbf{R})$ 有，$\left(h_{n}\right)=\left(h_{n}^{\prime}\right)$ ( 即 $\left.h_{n}=h_{n}^{\prime}, n=0,1,2, \cdots\right)$ 当且仅当 $h_{0}=$ $h_{0}^{\prime}, h_{1}=h_{1}^{\prime}$. 这是由于 (4), 若 $h_{0}=h_{0}^{\prime}, h_{1}=h_{1}^{\prime}$, 则所有 $h_{n}=h_{n}^{\prime}(n=0,1,2, \cdots)$.

其次在 $\symbf{R}^{2}$ 中选任一基 $\left(k_{0}, k_{1}\right)$ 及 $\left(k_{0}^{\prime}, k_{1}^{\prime}\right)$, 它们用递推公式 (4) 决定了两个序列 $\left(k_{n}\right),\left(k_{n}^{\prime}\right) \in V(\symbf{R})$. 由于 $\left(k_{0}, k_{1}\right)$ 与 $\left(k_{0}^{\prime}, k_{1}^{\prime}\right)$ 无关， 故 $\left(k_{n}\right),\left(k_{n}^{\prime}\right)$ 无关。 任一 $\left(h_{n}\right) \in V(\symbf{R})$,因 $\left(k_{0}, k_{1}\right)$ 与 $\left(k_{0}^{\prime}, k_{1}^{\prime}\right)$ 是 $\symbf{R}^{2}$ 的基， 必有 $a_{0}, a_{1}$, 使 $\left(h_{0}, h_{1}\right)=a_{0}\left(k_{0}, k_{1}\right)+a_{1}\left(k_{0}^{\prime}, k_{1}^{\prime}\right)$. 由 $a_{0}\left(k_{n}\right)+a_{1}\left(k_{n}^{\prime}\right) \in V(\symbf{R})$, 它的第 1,2 个元素正是 $h_{0}, h_{1},\left(h_{n}\right)$ 也是 $V(\symbf{R})$ 中元素， 它和 $a_{0}\left(k_{n}\right)+a_{1}\left(k_{n}^{\prime}\right)$ 的最前两个元素相等， 故 $\left(h_{n}\right)=a_{0}\left(k_{n}\right)+a_{1}\left(k_{n}^{\prime}\right)$. 这就证明 $\left(k_{n}\right),\left(k_{n}^{\prime}\right)$ 是 $V(\symbf{R})$ 的基，故 $V(\symbf{R})$ 是二维空间。

下面我们设法找出 $V(\symbf{R})$ 的一组具体的基。 我们试着从等比数列中来寻找， 即试找非零 $q \in \symbf{R}$, 令 $h_{n}=q^{n}$, 使

\[
h_{n}=h_{n-1}+h_{n-2}, \quad n \geqslant 2 .
\]

它即为

\[
q^{n}=q^{n-1}+q^{n-2}, \quad n \geqslant 2 .
\]

它成立当且仅当

\[
q^{2}-q-1=0
\]

此方程有两个解

\[
q_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \quad q_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2} .
\]

得到 $V(\symbf{R})$ 中的两个序列 $\left(q_{1}^{n}\right),\left(q_{2}^{n}\right)$ (由 $q_{i}^{n}=q_{i}^{n-1}+q_{i}^{n-2},\left(q_{i}^{n}\right) \in V(\symbf{R}), i=1,2$ ). 又

\[
\left(q_{1}^{0}, q_{1}^{1}\right)=\left(1, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right), \quad\left(q_{2}^{0}, q_{2}^{1}\right)=\left(1, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)
\]

是 $\symbf{R}^{2}$ 的基，故 $\left(q_{1}^{n}\right)$ 和 $\left(q_{2}^{\prime \prime}\right)$ 是 $V(\symbf{R})$ 的基。

现在可以求出斐波那契数列 $\left(h_{n}\right)$ 中每个 $h_{n}$ 了。 令

\[
\left\{\begin{array}{l}
1=h_{0}=a_{1} \cdot 1+a_{2} \cdot 1, \\
1=h_{1}=a_{1} \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}+a_{2} \cdot \frac{1-\sqrt{5}}{2} .
\end{array}\right.
\]

解出它，得

\[
a_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}, \quad a_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}
\]

于是 $h_{n}$ 的一般公式是 $h_{n}=a_{1} q_{1}^{n}+a_{2} q_{2}^{n}$, 即

\[
h_{n}=\frac{1+\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+\frac{-1+\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right] .
\]

由此例可看出线性空间的基在解决某些问题中的作用。
\end{frame}
\fi
